Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Факультет филологии ФГБОУ ОГУ приглашает принять участие в Международной научно-практической конференции «Филологические чтения». Конференция состоитс...полностью>>
'Документ'
А 198 Орещенко Владимир Михайлович ВАХЗ 198 На момент пуска РН «Энергия» 15.01.87г средний возраст офицера части составлял , года, более половины лейт...полностью>>
'Документ'
Материалы представляются в электронном виде на е-mail: info@molodezh.kz. Формат страницы А4 (210x297 мм). Поля: верхнее, нижнее и правое – 2 см, левое...полностью>>
'Документ'
С 20.09. по 30.09 сентября в нашей школе был проведен комплекс разнообразных мероприятий, посвященный международному Дню пожилых людей. Во всех класса...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Тема 4. Применение эконометрических методов в задачах маркетинга.

Метод наименьших квадратов (МНК). Построение линий регрессии в MS EXCEL с помощью встроенных функций. Значимость коэффициентов. Идентификация зависимости спроса от цены. Построение производственной функции Кобба-Дугласа.

4.1. Метод наименьших квадратов

Пусть по выборке (xi, yi), i = 1, 2, ... , n, требуется определить оценки a* и b* эмпирического уравнения регрессии (4.1) (иногда они далее будут обозначаться как b0 и b1).

В этом случае при использовании МНК минимизируется следующая функция (рис. 4.1.):

Рис. 4.1. Изображение отклонений, сумма квадратов которых минимизируется

(a,b)= (4.1)

Нетрудно заметить, что функция  является квадратичной функцией двух параметров a и b1 ( = (a , b)), поскольку (xi, yi), i = 1, 2, ... , n – известные данные наблюдений. Так как функция  непрерывна, выпукла и ограничена снизу ( > 0), то она имеет минимум.

Необходимым условием существования минимума функции двух переменных (4.1) является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам a и b:

(4.2)

В литературе эта система уравнений часто называется системой нормальных уравнений.

После удаления 2, а также (-1) (они не равны нулю) и приведения подобных членов (в результате суммирования единицы n раз получим соответственно n) получим

(4.3)

Выразим a* в первом уравнении через b*

или

, (4.4)

или по-другому,

,

где , .

Подставив выражение (4.4) во второе уравнение системы (4.3), получим

Тогда

Таким образом,

. (4.5)

Теперь благодаря выражениям (4.4) и (4.5) имеем выборочное уравнение линейной регрессии:

yтеор(xi) = a* + b*xi, (4.6)

т.е.

yi = a* + b*xi+ei, (4.7)

где хi и yi – значения наблюдаемых величин х и у;

ei – оценки теоретического случайного отклонения i.

Таким образом, по МНК оценки параметров a* и b* определяются по формулам (4.4)–(4.5).

Нетрудно заметить, что b* можно вычислить по формуле:

. (4.8)

Выполните это в качестве упражнения.

Упражнение 1. Доказать, что

.

Если мы разделим числитель в выражении (4.8) на n, то мы получим известную и часто используемую в математической статистике величину выборочной ковариации Sxy:

, (4.9)

Если же разделить знаменатель в выражении (4.8) на n, то мы получим оценку дисперсии переменной x, или квадрат среднеквадратического отклонения

, (4.10

Тогда

, (4.11)

где rxy – выборочный коэффициент корреляции, определяемый следующим образом:

(4.12)

и являющийся показателем тесноты связи между факторами x и y.

Здесь и – выборочные среднеквадратические отклонения случайных величин Х и Y, соответственно. Далее, эти величины будем обозначать как и . Таким образом, коэффициент регрессии пропорционален ковариации и коэффициенту корреляции, а коэффициенты пропорциональности служат для соизмерения перечисленных разномерных величин.

Итак, если коэффициент корреляции rху уже рассчитан, то легко может быть найден выборочный коэффициент b* парной регрессии по формуле (410) и наоборот.

Упражнение 2. Доказать, что

,

где cov(x,y) = Sxy – выборочный коэффициент ковариации признаков.

Параметр b* называется выборочным коэффициентом регрессии и показывает среднее изменение результативного фактора y при изменении фактора х на единицу.

Как известно, выборочный линейный коэффициент корреляции находится в границах .

Если коэффициент регрессии b>0, то , и, наоборот, при b<0 имеем .

Пример 1. Пусть имеются статистические данные об объёме выпуска некоторой продукции (X, тыс. ед.) и соответствующих затратах на производство (Y, млн руб.). Требуется построить линейную регрессионную зависимость затрат от объёма выпуска.

I - номер измерения

Объём выпуска продукции, Xi, тыс. ед.

Затраты на выпуск продукции, Yi, млн. руб.

1

1

30

2

1,5

40

3

3

100

4

4,5

120

5

5,2

150

6

5,8

170

7

6,5

230

По данным примера 1 величина линейного коэффициента корреляции равна 0,976362, что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной связи затрат на производство от объёма выпускаемой продукции.

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины к нулю ещё не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Этот коэффициент характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

. (4.13)

Соответственно, величина 1- характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтённых в модели факторов.

Проведенные рассуждения и формулы (4.1) – (4.8) позволяют сделать ряд выводов [3]:

1. Оценки МНК являются функциями от выборки, что позволяет их легко рассчитывать.

2. Оценки МНК являются точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.

3. Согласно второй формуле соотношения (4.3), эмпирическая прямая регрессии обязательно проходит через точку .

4. Эмпирическое уравнение регрессии построено таким образом, что сумма отклонений ei, а также среднее значение отклонения равны нулю.

Действительно, из первого уравнения –2(yi -a* – b*хi) =0 в соотношении (4.2) следует, что –2ei = 0 => ei =0 => ei /n= 0.

Следовательно, = 0.

5. Случайные отклонения ei не коррелированы с наблюдаемыми значениями xi независимой переменной X.

Действительно, из второго уравнения –2(yi -a* – b*хi)xi =0 в соотношении (4.2) следует, что 2eixi= 0 => (eixi) = 0 => cov(e,x)= 0.

Следовательно, =0.

4.2. Реализация линейной регрессии в Microsoft Excel

Надо отметить, что к настоящему времени составлено множество программ, реализующих метод наименьших квадратов. В этом пункте мы покажем на данных примера 1, как строится регрессия в Microsoft Excel.

Построение линейной регрессии с помощью мастера функций fx, Статистические, ЛИНЕЙН (первый способ)

Порядок вычисления следующий:

Шаг 1. Введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

Шаг 2. Выделите область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1x2 – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

Шаг 3. Активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

Шаг 4. В окне Категория (рис. 4.2) выберите Статистические, в окне Функция - ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

Рис. 4.2. Диалоговое окно «Мастер функций».

Шаг 5. Заполните аргументы функции (рис. 4.3):

Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, то Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК;

Рис. 4.3. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Шаг 6. В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу F2, а затем на комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b

Значение коэффициента a

Среднеквадратическое отклонение mb коэффициента b*

Среднеквадратическое отклонение ma коэффициента a*

Коэффициент детерминации R2

Среднеквадратическое отклонение my величины

F-статистика (факторная)

Число степеней свободы n-2

Объяснённая регрессией сумма квадратов отклонений S2o.p.

Остаточная сумма квадратов S2остат.

Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕЙН представлен на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую.

Построение линейной регрессии с помощью Сервис, Анализ данных, Регрессия (второй способ)

С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

Шаг 1. Активизируйте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис, Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 4.5);

Рис. 4.5. Подключение надстройки Пакет анализа

Шаг 2. В главном меню выберите Сервис, Анализ данных, Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

Шаг 3. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 4.6):

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака Y;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака X;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Рис. 4.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных из примера 2 представлены на рис. 4.7.

4.7. Вывод итогов регрессионного анализа

4.2. Идентификация зависимости спроса от цены.

Рассмотрим зависимость спроса D от цены P приобретаемой продукции. Для выявления этой зависимости можно было бы обратиться к статистическим данным и обработать их (приблизить) статистическими методами. Наиболее простым видом функции является степенная зависимость между ценой и спросом.

Dтеор(P) = AP-E, (4.14)

Это связано, прежде всего, с рекомендациями, основанными на опыте эконометрического анализа. Кроме того, такая форма зависимости является простейшей точки зрения одного из самых важных для экономики показателей роста (или убывания) функций  коэффициента эластичности Е.

Поэтому для зависимости спроса от цены с постоянным коэффициентом эластичности имеем зависимость (4.14), и (Е) как раз является этим коэффициентом эластичности (спроса по цене).

Если имеются статистические данные о спросе при разных ценах, т.е. Di, Pi, при i= 1,2, ..., n, то можно, применяя практический прием сведения зависимости (4.14) к линейному виду, вычислить значения параметров А и (Е). Для этого применяем операцию логарифмирования к левой и правой части уравнения (4.14).

ln(Dтеор(Pi)) = ln(AP-E) = lnA +(-E)lnPi (4.15)

Теперь зависимость стала линейной

Утеор(xi) = b0+ b1xi;

где b0 = ln(A); b1 = (E).

Другими словами, для уi = ln(Di), xi = ln(Pi), i = l,2, ..., n требуется найти параметр (-Е), определяющий пропорциональность у и х и свободный член b0.

Для вычисления коэффициентов нужно применить Сервис, Анализ данных Регрессия (МНК) для линейной функции для преобразованных статистических данных yi = ln(Di), xi = ln(Pi)

В результате мы вычислим b0 = ln(A); b1 = (E). Осталось найти величину А.

Из условия b0 = lne(A) и определения логарифма от некоторого аргумента А по основанию e как степени, в которую нужно возвести основание е, чтобы получить аргумент А, следует, что

A = eb0.

В MS Excel необходимо в некоторой ячейке вычислить параметр А как exp(b0).

Построение производственной функции Кобба-Дугласа.

Построение производственной функции Кобба-Дугласа

Y(K,L) = AKL

Выполняется аналогично предыдущему случаю определения параметров Dтеор(P) = AP-E только операцию логарифмирования нужно применить уже к уравнению Y(K,L) = AKL.



Похожие документы:

  1. Маркетинг. Компьютерное моделирование

    Учебно-методическое пособие
    ... при неравномерном спросе. 41 Тема 4. Применение эконометрических методов в задачах маркетинга. 57 Тема 5. Временные ряды. Выделение ...
  2. Продаж 16 Насколько реален ваш план продаж? 17 Необходимая информация из стратегии маркетинга 18

    Документ
    ... на рынке 1. Поставить отделу маркетинга задачу по размещению ин­формации о ... материалов» и т. п. Эконометрическое моделирование Альтернативный, а точнее, дополнительный метод заключается в применении эконометрических методов. Данные методы хороши тем ...
  3. Стратегический маркетинг

    Документ
    ... основами, концепциями, методами и применениями маркетинга на рынках как потребительских ... - это задача маркетинга взаимоотношений. Чувствительность к факторам маркетинга. Определенные ... функции спроса, определенной эконометрическим методом, даны на рис. ...
  4. Направление подготовки 38. 04. 08 /080300. 68/ «Финансы и кредит» квалификация магистр

    Документ
    ... знаний в области эконометрической методологии, развитие практических навыков применения эконометрических методов для проверки ... Структура дисциплины Тема 1. Содержание и задачи банковского маркетинга Тема 2. Разработка маркетинговой политики ...
  5. Учебно-методический комплекс дисциплины «Анализ данных и прогнозирование экономики» по кредитной технологии обучения для студентов специальности 050506 экономика

    Учебно-методический комплекс
    ... экономической науки и практики; 3) применение эконометрических методов и моделей для статистического анализа ... реализации, млн. тенге Затраты по маркетингу, тыс. тенге 1 2 3 4 5 6 7 ... Тема: Многомерные статистические методы Задача №1 Данные опроса восьми ...

Другие похожие документы..