Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Abstract: This article examines aspects of interaction between human and quality of life. The paper defines the human needs and quality of life. Autho...полностью>>
'Документ'
В Управление Росреестра по Красноярскому краю регулярно поступают обращения граждан, связанные с приостановлением государственной регистрации в связи ...полностью>>
'Расписание'
45-18.00 18.15- 0.00 - 15.45-18.00 18.15-19.45 15.00-17.15 13.00-14.45 - 15.45-18.00 14.00-15.30 1 .00-13.30 18 9 ДЮСШ № 1 ДЮСШ № 1 ДЮСШ № 1 Бочаров В...полностью>>
'Документ'
КОНТАКТЫ ФИО ДОЛЖНОСТЬ ТЕЛЕФОН E-MAIL Заполненный бриф отправьте, пожалуйста, на e-mail: lev@brandmedia....полностью>>

Главная > Решение

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Элементарная физика

Глава 3

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

§ 1. Импульс

В динамике процесс взаимодействия тел описывается третьим законом Ньютона, согласно которому всегда можно выделить пары взаимодействующих тел, для которых "действие равно противодействию":.

Знание силы, действующей на каждое тело в данный момент времени, позволяет находить его мгновенное ускорение, а далее, по мере необходимости, скорость, перемещение, координаты.

Но, во-первых, существует целый класс задач, в которых требуется знание только конечного результата взаимодействия тел. Для постоянных сил решение таких задач, как правило, не вызывает особых трудностей, но требует предварительного выполнения одних и тех же преобразований уравнений динамики.

Во-вторых, решение подобных задач посредством применения второго закона Ньютона существенно усложняется в случае изменяющихся в процессе взаимодействия сил.

Таким образом, имеет смысл предварительно выполнить для обозначенного класса задач преобразования законов Ньютона и полученный результат далее применять в готовом виде.

Действие одного тела на другое характеризуется понятием сила.

Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое силами ускорение.

Ускорение же - это физическая величина, равная отношению изменения скорости тела ко времени, в течение которого это изменение произошло.

Таким образом, можно записать: , или .

Физическая величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время ее действия, называется импульсом силы: .

Чтобы получить единицу импульса силы, подставим в определяющее уравнение единицы силы 1 Н и времени 1 с: = 1 Н. с.

Физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом (или количеством движения) тела: .

Чтобы получить единицу импульса тела, нужно в определяющее уравнение подставить единицы массы 1 кг и скорости 1 м/с: = 1кг. м/c.

Импульсы сил и тел - величины векторные.

Вектор импульса тела направлен так же, как вектор скорости. Вектор импульса силы - так же, как вектор силы.

С учетом введенных понятий, второй закон Ньютона получает новые формулировки:

Сумма сил, действующих на тело, равна скорости изменения его импульса: .

Импульс результирующей силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела.

§ 2. Закон сохранения импульса

Между взаимодействующими телами могут действовать внутренние и внешние силы.

Силы, создаваемые телами какой-то системы, называются внутренними.

Силы, создаваемые телами, не входящими в рассматриваемую систему, называются внешними.

Система тел, на которые не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированной.

Рассмотрим для простоты взаимодействие двух тел, составляющих изолированную систему. Пусть в качестве этих тел выступают движущиеся навстречу друг другу со скоростями и шары массами m1 и m2, которые после соударения раскатываются в разные стороны со скоростями и.

Применим к описанию удара шаров третий закон Ньютона. Силы выразим через массы шаров и изменения их скоростей, происходящие в результате взаимодействия. Время взаимодействия для обоих шаров оказывается одинаковым, поэтому после преобразования уравнений из рассмотрения исключается:

Члены полученного уравнения могут быть перегруппированы так, чтобы в одной части равенства оказались величины, относящиеся к моменту начала, а в другой части - к моменту окончания взаимодействия тел:

.

Полученное в результате преобразования законов Ньютона выражение носит название закона сохранения импульса: сумма импульсов изолированной системы тел остается неизменной до, после и во время взаимодействия между собой.

Интересный и значительный случай практического применения закона сохранения импульса - это реактивное движение.

Движение тела, возникающее при отделении от тела с какой-то скоростью некоторой его части, называют реактивным.

Движение водометного катера, медузы, кальмара, оболочки воздушного шарика, из которого выходит воздух - это некоторые примеры реактивного движения.

Реактивное движение совершают ракеты. Всякая ракета представляет систему двух тел: корпуса ракеты и содержащегося в ней вещества(топлива). В ракетах, используемых в технике, для получения реактивного движения сжигают специальные виды топлива, при сгорании которого образовавшиеся газы покидают ракету с большой скоростью.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты. Обозначим массу газа, образующего при сгорании топлива, через mг, а скорость газа г. Массу и скорость оболочки ракеты - соответственно, mоб и об. Так как сумма импульсов оболочки и газа должна быть равна нулю, то нулю равна и сумма их проекций:

mгг - mобоб = 0, или mгг = mобоб.

Отсюда определяем скорость оболочки: об = .

В отличие от всех других транспортных средств ракета движется, не взаимодействуя ни с какими другими телами, кроме как с продуктами сгорания содержащегося в ней самой топлива.

§ 3. Работа и кинетическая энергия

Чтобы у тела изменилась скорость, на тело должна подействовать сила. Но изменение скорости происходит при перемещении тела.

Можно попытаться установить прямую связь между силой, действующей на тело, его перемещением и изменением скорости тела на рассматриваемом участке траектории движения.

Пусть на тело массы m, двигавшееся со скоростью, начала действовать сила F под углом ά к направлению движения тела. Под действием этой силы тело совершает перемещение S и скорость тела изменяется от до.

Сделаем чертеж и опишем сюжет на математическом языке.

Выберем инерциальную систему отсчета, свяжем ее с Землей.

Точку отсчета совместим с тем положением тела, когда на него только начала действовать сила. В этот же момент начнем отсчитывать время.

Так как движение происходит в одном направлении, ограничимся одной координатной осью. Выберем направление, совпадающее с направлением движения.

Закончим отсчет времени в тот момент, когда скорость тела достигла искомой величины.

Изобразим на чертеже кинематические характеристики движения тела: его перемещение, начальную и конечную скорости, ускорение, а также динамическую характеристику - силу.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на выбранное направление. .

В связи с поставленной задачей, домножим правую и левую часть уравнения на S:

Из кинематики известно, что ускорение движения связано с начальной и конечной скоростью движения соотношением: . С учетом этого имеем: .

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

.

Физическая величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения тела под действием этой силы и на косинус угла между направлением силы и перемещения, называется работой силы:

.

Таким образом, работа силы равна изменению кинетической энергии тела:.

Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии.

Чтобы получить единицу работы, необходимо в определяющее уравнение работы подставить единицы силы - 1Н и перемещения - 1м. Получаем: 1 Н.м. Эта единица имеет собственное наименование - 1джоуль (1 Дж).


Если тело движется по инерции, силы на него не действуют, работа не совершается и кинетическая энергия не изменяется.


Если на тело действует сила, но тело покоится, работа силы равна нулю.

Если на тело действует сила и тело движется, но угол между направлениями силы и перемещения равен 900, работа силы также равная нулю.

В зависимости от величины угла между векторами перемещения и силы, работа силы может быть положительной и отрицательной.

§ 4. Потенциальная энергия тела в поле тяжести

Найдем работу силы тяжести при перемещении тела по наклонной плоскости из одной точки в другую. Первая точка находится на высоте h1 над поверхностью Земли, а вторая - на высоте h2.

По определению, .

Для рассматриваемого случая F = mg, а S cos ά = h2 - h1.

Таким образом: A = mgh1 - mgh2.

Физическая величина, равная произведению силы тяжести mg на высоту тела относительно выбранного уровня, называется потенциальной энергией тела в поле тяжести: Ep = mgh.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела в поле тяжести, взятому с противоположным знаком:

.

В полученное выражение не входит угол, характеризующий направление перемещения тела. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а зависит только от начальной и конечной высоты относительно выбранного уровня. Знак “-”означает, что в результате работы силы тяжести потенциальная энергия тела в поле тяготения уменьшается.

§ 5.Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Найдем работу силы упругости, изменяющейся согласно закону Гука, при перемещении тела из одной точки в другую.

Согласно определению, . Сила и перемещение сонаправлены, следовательно cosά = 1.

Перемещение тела равно x2 - x1.

В первом положении на тело действует сила F1= -kx1. Во втором положении - сила F2= -kx2. Так сила меняется по мере движения тела по линейному закону, можно считать, что будто бы на всем интервале движения на тело действует постоянная сила, равная среднему значению сил F1 и F2.

Таким образом: .

Или .

Физическая величина, равная половине произведения коэффициента жесткости на квадрат абсолютной деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

.

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:

.

§ 6. Закон сохранения механической энергии

Энергия, в самом общем понимании, является одной из функций состояния тела. Состояние тела определяется его массой, положением относительно других тел, скоростью и другими параметрами.

Чтобы изменилась кинетическая или потенциальная энергия тела, какой-то силой должна быть совершена работа: A = E2 - E1.

Рассмотрим изолированную систему, в которой телам предоставлена возможность двигаться под действием внутренних сил. В качестве простейшего примера возьмем свободно падающее тело. На высоте h1 тело обладает и кинетической, и потенциальной энергией. При перемещении на высоту h2 сила тяжести совершает работу, равную A = mgh1 - mgh2.

Вся эта работа идет на изменение кинетической энергии тела: .

Так как равны левые части записанных уравнений, равны и правые части. После перегруппировки членов получаемого уравнения, имеем:

.

Сумма потенциальной и кинетической энергии системы тел называется полной механической энергией системы:

W=Ek+EP.

Согласно полученному выражению, в изолированной системе тел полная механическая энергия остается постоянной, в системе могут лишь происходить превращения энергии из одного вида в другой.

Данный вывод носит название закона сохранения механической энергии.

§ 7. Мощность

Человек широко использует машины, многократно усиливающие его физические возможности. Во всех случаях использования машин нас интересует в первую очередь скорость совершения работы.

Одна и та же работа может совершаться за разное время.

Физическая величина, равная отношению работы ко времени, в течение которого эта работа совершена, называется мощностью.

.

Мощность показывает, какая работа совершена за единицу времени.

Чтобы получить единицу мощности, необходимо в определяющее уравнение мощности подставить единицы работы - 1 Дж и времени - 1с. Получаем: 1Дж/с. Эта единица имеет собственное наименование - 1Вт (1 ватт).

Различные транспортные средства, достигая определенной скорости, в дальнейшем движутся с постоянной скоростью. Это значит, что силы, действующие на них благодаря работе двигателя, равны по модулю и противоположны по направлению силам сопротивления.

От чего зависит скорость движения таких тел?

Пусть сила F и перемещение S направлены вдоль координатной оси. Работу можно определить следующим образом: A=F S.

Следовательно, . Но , поэтому

.

Из формулы очевидно, что при постоянной силе сопротивления движению, скорость пропорциональна мощности двигателя. Также видно, что при постоянной мощности двигателя сила тем меньше, чем больше скорость.

§ 8. Движение жидкостей (и газов) по трубам

Движение жидкости по трубам широко распространено в природе и технике. Например, течение рек, течение нефти по нефтепроводу, течение крови по кровеносным сосудам человека и животных и т.д.

Продувая струю воздуха между двумя шариками или листами плотной бумаги, подвешенными на нитях, можно наблюдать их взаимное притяжение. Похожее явление возникает при движении больших судов в узком канале, где суда значительно уменьшают сечение потока жидкости.

По всей видимости, давление внутри движущихся жидкости или газа уменьшается по сравнению с давлением окружающей среды.

Выясним зависимость давления жидкости от скорости её течения в трубе. Воспользуемся для этого законом сохранения механической энергии.

Рассмотрим движение идеальной жидкости в наклонном участке трубопровода, находящегося в поле земного тяготения.

Выделим мысленно некоторый элемент жидкости. Жидкость, находясь в движении, обладает кинетической энергией. Если она поднимается или опускается, то изменяется её потенциальная энергия.

Согласно закону сохранения энергии работа, совершенная над рассматриваемым элементом жидкости внешними силами, которые поддерживают движение жидкости или газа, должна быть равна изменению его полной механической энергии: A = Ek + Ep.

П

S2

x2

V2

V1

h2

S1

x1 h1

усть за небольшой промежуток времени жидкость перемещается вверх и вправо. (S1, S2 – поперечные сечения трубы слева и справа).

Левый участок жидкости перемещается на расстояние x1, за то же время правый– на x2.

Если жидкость несжимаема, объём слева равен объёму справа: V1=V2=V; S1x1= S2x2.

Массу перенесенной жидкости выделенного элемента можно определить, зная плотность жидкости и её объём: m = V.

Изменение кинетической энергии выделенного элемента жидкости равно разности кинетических энергий рассматриваемых частей:


Изменение потенциальной энергии выделенного элемента жидкости равно:

Ep = mg(h2 – h1).

Работа, совершаемая над выделенным элементом внешними силами, равна:

Приравнивая работу внешних сил к изменению кинетической и потенциальной энергии выделенного участка жидкости, имеем:

(p1 – p2)m/ = m/2·(22 - 12) + mg(h2 – h1).

После преобразования получаем следующее выражение:

p1 + 12/2 + gh1 = p2 + 22/2 + gh2 .

Это уравнение названо в честь швейцарского математика и механика Даниила Бернулли уравнением Бернулли.

Если жидкость неподвижна, то из уравнения можно получить обычное соотношение между глубиной и давлением:

p1 + gh1 = p2 + gh2 .

Если p2 – давление наверху в жидкости, а (h2 – h1) – глубина h, отсчитываемая от поверхности жидкости, то получим: p = p0 + gh, где p0 – атмосферное давление.

Если отбросить в уравнении Бернулли слагаемое, соответствующее потенциальной энергии, то получается соотношение между давлением и скоростью жидкости, движущейся горизонтально.

p + 2/2 = const

Вывод очевиден: где скорость велика, там мало давление.

Давление жидкости, текущей по трубе, меньше там, где скорость её течения больше, и, наоборот, где скорость течения жидкости меньше, давление там больше.

Можно проверить справедливость уравнения Бернулли на опыте. Через трубу переменного сечения, в которую впаяны манометрические трубки, пропускают жидкость. По высоте жидкости в манометрических трубках судят о давлении в разных сечениях трубы. На рисунке наименьшее давление – в среднем сечении трубы.

Уравнение Бернулли справедливо не только для жидкостей, но и для газов, если их сжатие мало.

Работа водоструйных насосов, автомобильных карбюраторов, пульверизаторов, водомеров и газомеров основана на уравнении Бернулли.

Примеры решения задач к главе 3

Законы сохранения в механике”

Задача № 1

В облако микрометеоритов, которое движется с постоянной скоростью в направлении справа налево, влетает космический корабль.

Скорость корабля направлена под углом =1500 к потоку микрометеоритов и равна.

Частички космического вещества прилипают к обшивке корабля и, пока корабль пролетает через облако, частицы, ударяющиеся о корабль, разворачивают его. В результате этого корабль вылетает из потока частиц под углом 900 к направлению потока частиц.

Отяжелевший корабль уменьшает свою скорость. К моменту вылета из облака, скорость корабля составляет четвертую часть от начального значения.

Какова скорость микрометеоритов, если известно, что масса каждой частички в тысячу раз меньше массы корабля?

Сколько частиц налипло на корабль?

При решении задачи, к процессу соударения частиц с кораблем можно применить закон сохранения импульса, но в направлении, перпендикулярном направлению движения частиц.

Действительно, в этом направлении (обозначим его X) никакие силы на космический корабль не действуют. Импульс корабля в данном направлении сохраняется. Этот импульс p равен произведению массы корабля M на составляющую скорости, которой он обладал.

Чтобы найти составляющую скорости, нужно спроецировать вектор на выбранное направление. Начальный импульс корабля равен импульсу конечному, определяемому в момент его выхода из потока частиц. Масса корабля увеличилась, поэтому, чтобы сохранился импульс, скорость у него должна уменьшиться.

Проекция начального импульса корабля на выбранное направление:

X: , .

Проекция конечного импульса на выбранное направление:

X: ,

где N - число частиц, m - масса каждой частицы.

Запишем закон сохранения импульса, с учетом проецирования:

p1 = p2

.

Зная во сколько раз отличается масса одной частички от массы корабля, можно найти число частичек, налипших на корабль.

В нашем случае, N = 1000.

Значение скорости, с которой движутся частицы, можно найти, рассмотрев треугольник АВС.

Скорость, с которой движется поток частиц, равняется проекции скорости корабля не на выбранное направление X, а на перпендикулярное ему направление Y.

Сложив векторы и , мы получим вектор, направленный перпендикулярно потоку частиц, который совпадает с направлением скорости корабля, когда он выходит из потока частиц.

Таким образом, скорость частиц равна: .

Задача № 2

Два товарища договорились выкопать колодец. Один из них (более сообразительный) сказал:

- “Давай, сначала я выкопаю до середины, а потом ты - оставшееся”.

Совершенно очевидно, что работа, которую необходимо совершить первому человеку, когда он копает верхнюю половину колодца, меньше работы, которую нужно совершить, чтобы докопать колодец до конца.

Во сколько раз отличаются эти работы?

Работа по выбрасыванию земли равна изменению ее потенциальной энергии. Примем за нулевой уровень энергии уровень, связанный с поверхностью Земли.

Поскольку потенциальная энергия в поле тяжести равна mgh, то можно утверждать, что потенциальная энергия слоев земли, по мере углубления, изменяется по линейному закону от нуля до некоторого максимального значения.

Можно представить себе такую ситуацию: первый землекоп выбрасывает землю не с разных глубин, а с некоторой средней глубины, находящейся на уровне, равном четверти всей глубины.

Второй землекоп также выбрасывает землю не с разных уровней, а с глубины, равной половине от половины своей глубины, то есть с уровня, равного 3/4 всей глубины.

Во сколько раз отличаются эти глубины h1 и h2, во столько же раз отличаются работы, совершаемые землекопами.

Задача № 3

Известный цирковой аттракцион: с горки скатывается велосипедист и делает полный оборот по мертвой петле.

Представим несколько более простой вариант - с горки соскальзывает небольшое тело. Трение на горке настолько мало, что им можно пренебречь.

Какой должна быть высота горки, чтобы тело в верхней точке петли не оторвалось?

Опишем процесс на энергетическом языке.

Выберем нулевой уровень энергии. Свяжем его с основанием горки. Относительно этого уровня, тело, находящееся на высоте h, неизвестной нам, обладает запасом потенциальной энергии. По мере движения, потенциальная энергия тела уменьшается и переходит в кинетическую энергию.

У основания горки вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. Далее, тело поднимается вверх и движется по окружности.

В верхней точке тело имеет скорость, следовательно обладает кинетической энергией. Но эта энергия меньше кинетической энергии, которой тело обладало у основания горки, так как оно поднимается на высоту, равную 2R, и приобретает запас потенциальной энергии.

Можно утверждать, что если потерь энергии нет, то сумма потенциальной и кинетической энергии в любой точке траектории, есть величина постоянная.

Как уже было выяснено в предыдущей задаче, при описании процесса на энергетическом языке, промежуточные этапы движения нас не интересуют, поэтому мы записываем уравнение:

Еп = Еп1 + Ек1.

Далее, мы подставляем значения:

Еп = mgh - потенциальная энергия тела на вершине горки в начальный момент времени;

Eп1 = mg2R - потенциальная энергия тела, при прохождении им верхней точки “мертвой петли”;

- кинетическая энергия тела в той же точке.

Как мы видим, можно произвести сокращение на m, и найти значение искомой величины: (1).

Задачу можно считать решенной, но попытаемся произвести дальнейшие преобразования и избавиться от значения скорости в данном уравнении, поскольку эта величина, вероятно, связана и с высотой горки и с радиусом окружности, по которой движется тело.

Если эта связь действительно существует, то нам удастся выразить скорость через другие величины, либо искомую h, либо R, которая, вероятно, нам должна быть дана.

Таким образом, мы переходим к другой задаче. Она может звучать так:

Тело движется по внутренней части окружности.

С какой скоростью тело должно двигаться, чтобы не упасть?

Эту задачу можно решать, описывая процесс на силовом языке. Тем более, что возможности энергетического языка мы уже использовали.

Если тело движется по окружности, оно имеет ускорение, направленное к центру этой окружности, следовательно на него должны действовать силы, обеспечивающие это ускорение.

Если тело движется по внутренней стороне обода, то на него действуют сила тяжести mg и, вероятно, сам обод.

Сила со стороны обода направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, но, вероятно, нас интересует тот случай, когда ускорение тела минимально - именно тогда будет минимальной и скорость. Но ведь, чтобы было минимальным ускорение, должна быть минимальной и сила. Меньше, чем mg, эта сила быть не может. Это будет в том случае, если сила давления равняется нулю. Следовательно, на тело действует только сила тяжести. Эта сила и сообщает телу ускорение.

Выберем направление для проецирования сил и ускорений и запишем второй закон Ньютона в векторной форме.

Сумма сил, действующих на тело, в данном случае это mg, равняется произведению массы на ускорение: mg = ma .

В проекции на выбранное направление: a = g.

Оказывается, что центростремительное ускорение равняется ускорению свободного падения. Зная, что центростремительное ускорение равно , получаем: = gR..

Таким образом, и вторую задачу мы решили.

Подставляем полученное значение скорости в первое уравнение. Получаем: .

Задача № 4

Представим себе такую ситуацию: на длинной нити укреплен шарик, нить отведена в горизонтальное положение. Шарик отпускают и он начинает движение. Шарик проходит положение равновесия и движется дальше. Вероятно, шарик двигался бы на всем участке траектории, обозначенном на чертеже, по дуге окружности радиуса L. Однако, на расстоянии L/2 на вертикали, проходящей через точку крепления маятника, вбит в стену гвоздь. Нитка зацепляется за этот гвоздь и шарик продолжает движение по окружности радиуса L/2.

Спрашивается, как высоко шарик может подняться над уровнем, проходящем через нижнее положение шарика?

Нижнее положение шарика примем за нулевой уровень.

Нить, на конце которой укреплен шарик, отклонена до горизонтального положения. Шарик отпускают и он начинает двигаться по окружности радиуса L.

Нитка зацепляется за вбитый в стену гвоздь, происходит “захлест” и шарик продолжает движение по окружности радиуса L/2.

Исходя из вопроса задачи можно понять, что, по всей видимости, шарик не поднимается до прежнего уровня.

Будем считать, что шарик поднялся на некоторую высоту Н.

Выразим Н в долях от L.

Разобьем эту сложную задачу на более простые.

Шарик движется по окружности одного радиуса, далее продолжает движение по окружности другого радиуса.

По всей видимости, когда шарик опускается вниз, сила натяжения нити растет. Далее шарик начинает подниматься вверх, скорость у него уменьшается, соответственно сила натяжения нити уменьшается.

Вероятно есть такая точка, в которой сила натяжения нити будет равна нулю. Пока эта сила не равна нулю, шарик движется по окружности, как только сила натяжения нити становится равной нулю, происходит срыв шарика с окружности. На шарик действует только сила тяжести и он имеет скорость, направленную под углом к горизонту.

Но мы знаем, что в поле тяжести, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе.

Траектория движения может быть разбита на три участка. Первый участок - движение по окружности одного радиуса, второй участок - движение по окружности другого радиуса, третий участок - движение по параболе.

Если будем описывать движение шарика от исходной точки до точки срыва с окружности на энергетическом языке, как и в предыдущих задачах, промежуточная точка нас интересовать на будет.

Запишем закон сохранения энергии для начального и конечного состояний: Еп1= Еп2 + Ек2.

В исходной точке, относительно выбранного нулевого уровня энергии, шарик обладает запасом потенциальной энергии Еп1, в точке срыва с окружности шарик обладает также запасом потенциальной энергии Еп2, но она меньше, чем в исходной точке, хотя бы по той причине, что высота, на которую поднялся шарик, меньше L. Обозначим эту высоту h1.

В точке срыва с окружности шарик имеет некоторую скорость и, соответственно, обладает запасом кинетической энергии Ек2.

Подставим в полученное энергетическое уравнение значения потенциальных и кинетической энергий.

.

Масса сокращается, что свидетельствует о том, что от ее значения ответ к задаче не зависит.

Данное уравнение позволяет найти высоту h1, на которую поднимется шарик.

Чтобы найти h1, необходимо знать квадрат скорости, которой будет обладать тело в данной точке.

Одно уравнение с двумя неизвестными решать не можем.

Необходимо знать значение квадрата скорости в точке срыва шарика с окружности.

Возникает другая задача. Ее текст может звучать следующим образом:

некое тело, привязанное к нитке, движется по окружности и поднимается вверх. В некоторой точке происходит срыв с окружности.

Чему равняется скорость этого тела в данной точке?

Тело еще находится на окружности и имеет центростремительное ускорение. В то же время, оно уже сорвалось с окружности. Соответственно, сила натяжения нити равна нулю. Следовательно, в рассматриваемой точке на тело действует только сила тяжести.

Но тело еще находится на окружности, поэтому у него имеется центростремительное ускорение. Это ускорение сообщает сила тяжести.

Типичная ситуация, которая описывается посредством “силового языка” и решается с помощью второго закона Ньютона: сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на, сообщаемое этой силой, ускорение.

Выбираем инерциальную систему отсчета. Связываем ее с Землей (важно, что не с шариком, который движется с ускорением!).

На чертеже необходимо выбрать направление для проецирования сил и ускорения.

Пусть это направление совпадает с направлением центростремительного ускорения (проходить по радиусу).

Записываем второй закон Ньютона для нашего случая:

.

В проекции на выбранное направление: .

Центростремительное ускорение можно рассчитать как отношение квадрата скорости к радиусу окружности. В данном случае радиус равен половине длине нити. .

.

В полученном уравнении масса также сокращается и можно найти квадрат скорости, необходимый нам в первой задаче, но опять же при условии, что будем знать направление на точку отрыва шарика от окружности.

Чтобы найти косинус угла, определяющего направление, воспользуемся чисто геометрическими соображениями. Для этого достроим чертеж.

Из точки отрыва шарика от окружности на вертикаль опустим перпендикуляр, в полученном треугольнике угол между направлением оси и вертикалью будет равен  как вертикальный накрест лежащий с уже рассмотренным углом.

Из этого треугольника находим значение косинуса угла. Он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет равен h1-L/2.

.

Можно подставить значение косинуса угла в предыдущее уравнение. Это позволит нам найти квадрат скорости шарика в момент отрыва. Зная квадрат скорости, найдем координату искомой точки или высоту, на которой происходит отрыв шарика. Для этого нужно решить три уравнения.

Запишем их еще раз.

Решаем систему из трех уравнений. При этом можем найти не только величину h1, но и величину скорости, которой обладает шарик в данной точке, и значение косинуса угла .

Подставляем значение косинуса во второе уравнение системы:

.

Производим сокращение. Значение квадрата скорости подставляем в первое уравнение системы и получаем:

.

Произведем сокращение на g.

Умножаем правую и левую часть на 2. Получается:

,

откуда .

Окончательно получаем: .

Мы ответили на поставленный вопрос и получили значение h1.

Попытаемся ответить и на остальные вопросы, которые позволяет сделать решение данной системы уравнений.

.

Возможности энергетического и силового подхода к описанию данного процесса нами исчерпаны.

Далее решим следующую задачу:

некое тело брошено под углом альфа со скоростью к горизонту.

На какую высоту Н2 поднимется данное тело?

Если удастся найти высоту, на которую поднимется это тело, движущееся уже по параболе, сможем найти и ответ на первоначальный вопрос: чему равна максимальная высота подъема тела, привязанного к нити, когда нить зацепляется за гвоздь?

Рассмотрим варианты решения поставленной задачи.

Во-первых, эту задачу можно решать кинематически. Это позволяет нам сложное движение заменить двумя простыми движениями, то есть разложить скорость на две составляющие: горизонтальную и вертикальную.

Эти два движения происходят независимо друг от друга. Движение по горизонтали это движение равномерное, так как в этом направлении не действуют никакие силы, а движение по вертикали равнопеременное, так как на тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз.

Зная значение скорости и угол  найдем значения горизонтальной и вертикальной составляющих.

Но эту задачу можно решать и другим способом.

Воспользуемся энергетическим методом описания движения.

Вертикальной и горизонтальной составляющей скорости тела можно поставить в соответствие энергию, которой обладает тело. В верхней точке траектории кинетическая энергия тела полностью переходит в потенциальную энергию.

Подставим значения кинетической и потенциальной энергии: .

Массы сокращаются, и искомая высота h2 оказывается равной:

.

Остается только найти, чему равняется вертикальная составляющая скорости в точке отрыва.

Из предыдущих рассуждений нам известно: .

Рассмотрим треугольник АВС. В этом треугольнике скорость является гипотенузой, а искомая вертикальная составляющая - это катет, противолежащий углу . Запишем:

.

Соответственно: .

,

откуда . .

Подставляем значение квадрата синуса и квадрата скорости:

.

Если подставить значение квадрата вертикальной скорости в уравнение для h2, то имеем:

.

Для того, чтобы найти значение H, остается сложить и :

.



Похожие документы:

  1. Решение задач на нахождение количества информации

    Решение
    ... задачами открытого типа. Для решения подобных задач мы должны сделать ... позволяет развивать творческий потенциал. Решение подобных задач не столь очевидно и ... красной шерсти? 1) 2 2) 3 3) 4 4) 32 Решение (вариант 1): 1) красные клубки шерсти составляют ...
  2. Решение задачи линейного программирования в ms

    Решение
    ... себестоимости, получаемой от оптимального решения X. Например, если X ... ограничениями любого типа. При решении задачи целочисленного программирования необходимо ... 1+x3 + x4 ≤ 5 - 3x1 + 5x4 ≤ 7 Для решения подобных задач в MS EXCEL предназначена команда ...
  3. Решение уравнений Максвелла для

    Решение
    ... группы специалистов, заинтересованных в принятии наилучшего решения. Решение на осуществление деятельности фирмы по ... фоном помещения (пассивное тестирование). Для решения подобных задач целесообразно применять автоматизированные программно ...
  4. «Решение задач на нахождение количества информации»

    Решение
    ... было в ящике. Задачи подобного типа были разобраны на предыдущих ... задачами открытого типа. Для решения подобных задач мы должны сделать определенные ... , находить нестандартные решения и проявлять инициативу. Приложение 1 Решение задач на нахождение ...
  5. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений. Сборник трудов: "Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы"

    Решение
    ... обучении. Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений. Решение нелинейного дифференциального уравнения ... метода от численных методов решения подобных уравнений. Предположим, ... анализ полученного решения. Так как решение определяется для ...

Другие похожие документы..