Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Презентации к урокам географии «Строение земной коры», «Население Земли» (7 класс), «Природа России. Природные зоны», «Природные ресурсы России» (8 кл...полностью>>
'Расписание'
И.О. Преподавателя 7 ноября 013, среда 13.00-13.30 Регистрация и анкетирование слушателей. 405 1 корп. Латыпов Иршат Аминович, специалист по УМР 1 кат...полностью>>
'Документ'
Требования к уровню освоения содержания дисциплины Процесс изучения дисциплины направлен на формирование у обучаемого следующих компетенций: Общекульт...полностью>>
'Документ'
Стая краснолапых чаек долго провожала нас вчера, долго плыла на тугих острых крыльях, косясь на длинный малахитовый след за кормою. Низкие, плоские бе...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Теория поля есть учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления и о вытекающих из них методах расчета.

Электромагнитное поле является особым видом материи, оно является носителем энергии и обладает специфическими (присущими только ему) электрическими и магнитными свойствами. Изложение основных свойств и методов расчета полей произведем в порядке перехода от более простых к более сложным. В соответствии с этим в начале рассмотрим поля, неизменные во времени, и только после этого изучим переменное электромагнитное поле. Изучение всех видов полей расширяет физические представления о поле, известные и курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических устройствах, важно с прикладной точки зрения, т.к. дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей, но и более общих задач (излучение и канализация электрической энергии и др.).

Мы будем изучать только поля в однородных (одинаковых во всех точках поля) и изотропных (со свойствами, не зависящими от интенсивности поля) средах.

Электростатическое поле

Электростатическое поле является частным случаем электромагнитного, оно создается неподвижными в пространстве (относительно наблюдателя) и неизменными во времени зарядами. Непосредственно на органы чувств человека электростатическое поле не воздействует, но ему присуща способность воздействовать с механической силой на помещенный в него пробный заряд. Это воздействие и положено в основу обнаружения электростатического поля и определения его интенсивности.

Основными величинами, характеризующими свойства этого поля являются его напряженность и потенциал. Если в электростатическое поле поместить настолько малый пробный заряд, что он своим присутствием не исказит его, то на него будет действовать сила Отношение этой силы к величине заряда и даст напряженность поля Если , то Отсюда следует, что напряженность поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, она характеризует интенсивность поля. Единица измерения напряженности

Допустим, что в некотором электростатическом поле единичный положительный пробный заряд под действием сил поля переместился из точки 1 в точку 2 (рис.11.1). Тогда даст работу по перемещению этого заряда из т.1 в т.2. Из курса физики известно, что работа поп перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую есть напряжение или разность потенциалов, т.е. Если то Отсюда следует, что потенциал некоторой точки есть работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точку в ту, потенциал которой равен нулю. В качестве точки , имеющей нулевой потенциал, может быть выбрана любая. Часто её помещают в бесконечность, иногда на поверхность земли. Если точка с нулевым потенциалом выбрана, то совершенно однозначно определяются потенциалы всех остальных точек. Из рассмотренного видно, что потенциал определяется с точностью до постоянной, зависящей от того куда помещается точка с нулевым потенциалом. В связи с этим связь между потенциалом и напряженностью записывают так: Тот факт, что потенциал определяется с точностью до постоянной практического значения не имеет, т.к. важно напряжение, которое равно разности потенциалов, а при её взятии постоянная интегрирования уничтожается.

Если взять по замкнутому контуру, то он даст ноль, т.е. Это означает, что при движении вдоль замкнутого контура совершается определенная работа силами поля и точно такая же работа выполняется против сил поля. Соотношение выражает одно из основных свойств электростатического поля - оно является потенциальным (потенциальными являются все поля, для которых выполняется подобное соотношение – гравитационные, тепловые и т.д.).

Графическая картина электростатического поля

Электростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности и потенциала в функции координат. Нагляднее же его можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий, которая и называется его графической картиной. Силовой называется такая мысленно проведенная в поле линия, которая начинается на положительно заряженном теле, заканчивается на отрицательно заряженном теле и касательная к которой в любой точке дает направление вектора Е. Вдоль силовой линии перемещался бы весьма малый положительный заряд, имеющий возможность свободно двигаться и не обладающий инерцией. Так как положительный и отрицательный заряды не могут находиться в одной точке, то силовые линии имеют начало и конец, они не могут быть замкнутыми сами на себя. В любом электростатическом поле могут быть проведены эквипотенциальные поверхности как совокупности точек, имеющих один и тот же потенциал. Если поле рассечь какой либо плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы эквипотенциальных поверхностей, которые и называются эквипотенциальными линиями. В противоположность силовым эквипотенциальные линии являются непрерывными, замкнутыми сами на себя. В любой точке поля силовые и эквипотенциальные линии перпендикулярны друг другу. Для примера приведем графическую картину электростатического поля двух точечных зарядов (рис.11.2).

Cвязь между напряженностью поля и потенциалом

Выясненная ранее взаимосвязь напряженности и потенциала называется интегральной. На практике же чаще используется дифференциальная связь между этими величинами для выяснения которой выделим в некотором электростатическом поле две эквипотенциальные линии (рис.11.3). Пусть все точки первой линии обладают потенциалом φ1, а второй – φ2. Для определенности будем полагать, что φ1>φ2, но отличаются они на бесконечно малую величину, т.е. φ1-φ2=dφ. Расстояние между линиями – dl. Выберем на первой линии произвольную точку 1, а на второй – точку 2. Если разность потенциалов между этими точками поделить на кратчайшее расстояние между ними (по прямой), то полученная величина будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками. Эта скорость зависит от того, как выбраны точки. Если, например, точку 2 смещать вверх, то она упадет, поскольку не dφ изменится, а расстояние между точками возрастет. Если т.2 смещать вниз, то происходит возрастание указанной скорости. Когда т.2 займет положение, наиболее близкое к т.1 (т.3), скорость изменения потенциала станет максимальной. В математике вводится понятие градиента скалярной функции, как скорости её изменения, взятой в направлении наибольшего возрастания. Применим это понятие к потенциалу, т.е. рассмотрим gradφ. Это будет вектор – он имеет направление от т.3 к т.1 (направление наибольшего возрастания), а его модуль равен Напряженность поля направлена от более высокого потенциала (φ1) к меньшему (φ2), а её модуль равен (см. интегральную форму). Поскольку модули векторов Е и gradφ одинаковы, а направлены они в противоположные стороны, то .

Направление наибольшего возрастания потенциала в общем случае не совпадает ни с какой координатной осью, поэтому gradφ представляется в виде суммы проекций по координатным осям, например, в прямоугольной системе координат (рис.11.4) где - орты (единичные векторы) прямоугольной системы, - скорости изменения потенциала вдоль соответствующей оси. Напряженность Е также может быть записана через проекции Два вектора равны друг другу, если у них одинаковы проекции, т.е. Именно последние три формулы используются в практических расчетах.

Для сокращения записи различных операций в теории поля широко используется не имеющий физического смысла дифференциальный оператор Гамильтона (набла), под которым понимают сумму частных производных по координатным осям, умноженных на соответствующие орты. В декартовой системе координат он имеет вид: Формально набла можно рассматривать как вектор. Он может быть применен как к скалярной, так и к векторной функции. Та функция, действие над которой производят (дифференцирование по координатным осям или пространственное дифференцирование) пишется справа от Если справа отне указана функция, то сам по себе оператор набла не применяется (аналогично как sin, log и т.д.). Применив оператор набла к потенциалу и сравнив его с , видим, что = (для скалярной функции частная и полная производные совпадают). Тогда связь между напряженностью и потенциалом может быть записана так:

Поляризация вещества

В веществах различают свободные и связанные заряды. Cвободными называются такие заряды, которые под действием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничивается внутримолекулярными силами. Под связанными зарядами понимают такие, которые под действием сил поля могут смещаться только в пределах молекулы. Связанные заряды не отделимы от вещества поэтому сумма положительных связанных зарядов равна сумме отрицательных.

Д
иэлектрические тела в электростатическом поле поляризуются. Под поляризацией понимают упорядоченное изменение расположения связанных зарядов под действием сил поля. Наглядно можно показать поляризацию с помощью рис.11.5, на котором изображено тело при отсутствии электростатического поля и при его наличии. Если поля нет, то молекулы (диполи) расположены в хаотическом беспорядке (рис.11.5,а). В поляризованном же теле положительные связанные заряды смещаются в сторону более высокого потенциала, а отрицательные – в сторону меньшего (рис.11.5,б), причем смещаются настолько, что силы воздействия электрического поля уравновешиваются внутримолекулярными силами. В результате поляризации на поверхности вещества как бы обнажаются положительные или отрицательные связанные заряды причем сумма первых из них в точности равна сумме вторых. Диполи создают свои поля. В неполяризованном веществе их суммарное действие равно нулю, а в поляризованном – нет, оно приводит к ослаблению результирующего поля и его необходимо учитывать. С этой целью вводится понятие электрического момента диполя. Электрическим моментом двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии l, называется произведение Это вектор, направленный от -q к +q (рис.11.6). Под действием внешнего поля диполи вещества стремятся ориентироваться так, чтобы их электрические моменты совпадали с напряженностью внешнего поля. Практическое значение имеет конечно не один диполь и его электрический момент (он чрезвычайно мал), а сумма электрических моментов диполей, находящихся в единице объёма, которую принято называть вектором поляризации , т.е. Для большинства диэлектриков вектор поляризации пропорционален напряженности поля а коэффициент пропорциональности между ними k называется электрической восприимчивостью.

Кроме рассмотренных выше векторных величин и , физический смысл которых мы выяснили, в теории поля в расчет вводят ещё вектор , который называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Он определяется следующим образом: где называется относительной диэлектрической проницаемостью среды, в которой создано поле, а абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой создано поле. показывает во сколько раз электрические свойства среды отличаются от свойств вакуума (это отличие имеет место за счет поляризации). Для всех сред определено экспериментальным путем и приводится в справочниках.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса представляет собой основной закон электростатического поля. Он обнаружен экспериментальным путем и математически записывается так поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объём, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности (в сумме заряды берутся со своими знаками). Поскольку то . Для однородных и изотропных сред является постоянной величиной и её можно вынести за знак интеграла, тогда Интересно, что поток вектора D или Е зависит только от и не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности. Поток вектора Е создается не только свободными, но и связанными зарядами. Последние можно учитывать не через , а через отдельно взятую сумму связанных зарядов и тогда формула теоремы Гаусса выглядит так: Эти три формулы представляют собой интегральную форму записи теоремы Гаусса, которая с большой эффективностью и простотой может быть использована для расчета напряженности поля в какой-либо точке, если через неё можно провести замкнутую поверхность, все точки которой находятся в одинаковых условиях по отношению к зарядам, создающим поле. В качестве примера рассчитаем поле, создаваемое точечным зарядом.

Точечным называется заряд, расположенный на теле очень малых геометрических размеров. На рис.11.7 он изобразится в виде точки (отсюда и название). Допустим, что этот заряд является положительным и расположен в среде с проницаемостью . Возьмём произвольную точку, отстоящую на расстояние r от точечного заряда. Напряженность в этой точке будет направлена по радиальной линии (см. рис.11.7). Для её расчета применим формулу С этой целью проведём через данную точку замкнутую сферическую поверхность с центром, совпадающим с точечным зарядом. Вектор элементарной поверхности направляется в сторону внешней нормали к площадке (она расположена в окрестности рассматриваемой точки). Поскольку в нашем примере векторы Е и ds совпадают, то их произведение совпадает с произведением модулей. Кроме того во всех точках рассматриваемой сферы величина вектора Е одинакова в силу симметрии. С учётом сказанного имеем: поскольку поверхность сферы равна Сумма свободных зарядов равна только заданному точечному заряду . Подставляя эти значения в формулу теоремы Гаусса, получаем: Таким образом, в данном поле напряженность изменяется обратно пропорционально r2.

Произведём расчет потенциала в данном поле, исходя из формулы . Если учесть, что напряженность, а значит и потенциал, зависят только от радиуса, то последняя формула перепишется так откуда Отсюда следует, что потенциал в данном поле изменяется обратно пропорционально r. Постоянная интегрирования А зависит от того, где расположить точку с нулевым потенциалом.

Интегральная форма записи теоремы Гаусса не даёт ответа на вопрос о том, как связана напряженность поля в данной точке с зарядом в этой же точке. Ответ на этот вопрос даёт дифференциальная форма этой теоремы, которая вытекает из интегральной. Для этого выражение поделим на величину объёма, ограниченного поверхностью интегрирования Это соотношение справедливо для объёма любой величины. Устремим его к нулю (говорят, что стянем поверхность в точку). Тогда Предел отношения потока вектора D через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объём, к величине этого объёма называется дивергенцией вектора D () или истоком, или расхождением. В правой части последнего равенства стоит объёмная плотность свободного заряда ρсв. Тогда Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме. Её суть поясним с помощью трех случаев, отраженных на рис.11.8. Если в рассматриваемой точке поля объёмная плотность свободного заряда положительна, то из бесконечно малого объёма, окружающего данную точку, линии вектора D исходят (исток положительный, расхождение положительное, дивергенция положительная). Если в рассматриваемой точке поля объёмная плотность свободного заряда отрицательная, то в бесконечно малый объём, окружающий данную точку, линии вектора D входят (исток отрицательный, расхождение отрицательное, дивергенция отрицательная). И, наконец, если в рассматриваемой точке нет свободного заряда, то в такой точке нет ни стока ни истока линий вектора D, т.е. в такой точке лини вектора D не начинаются и не заканчиваются, а пронизывают бесконечно малый объём, окружающий данную точку.

Поскольку то Для однородных и изотропных сред является постоянной величиной и её можно вынести за знак div, тогда получим: Если явление поляризации учитывать с помощью связанных зарядов, то последнее выражение можно так переписать где ρ
связ- объёмная плотность связанных зарядов. Опуская вывод выражения , запишем его в прямоугольной системе координат она представляет собой сумму частных производных проекций вектора Е по трём координатным осям. Покажем, что скалярное произведение оператора набла и вектора Е означает взятие дивергенции от последнего:

В связи с этим теорему Гаусса в дифференциальной форме часто записывают так

Уравнения Пуассона и Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа вытекают из теоремы Гаусса в дифформе и тоже относятся к числу основных уравнений электростатики. Действительно, известно, что . В тоже время Подставляя первое выражение во второе, получаем или Вместо дивергенции и градиента можно использовать оператор набла, тогда получим . называется лапласианом и обозначается так . Тогда . Это и есть уравнение Пуассона. Раскроем лапласиан потенциала в прямоугольной системе координат: поскольку произведение одноименных ортов даёт единицу, а разноименных – ноль.

Частный вид уравнения Пуассона при ρсв=0 называется уравнением Лапласа. Оно выглядит так или в прямоугольной системе координат . Уравнение Лапласа описывает области электростатического поля, не занятые свободным зарядом.

В электростатике встречаются задачи, которые значительно легче решаются не в прямоугольной, а в цилиндрической или сферической системе координат (рис.11.9). Выражение лапласиана потенциала в цилиндрической системе координат имеет вид: , а в сферической .

Решение уравнений Пуассона и Лапласа в математическом отношении является весьма сложной задачей, но зато их решение позволяет определить закон изменения потенциала по известному распределению заряда. При решении этих уравнений появляются постоянные интегрирования, которые определяются исходя из граничных условий.

Граничные условия в электростатическом поле

Под граничными условиями понимают условия, которым удовлетворяет поле на границе раздела двух различных сред. Прежде чем перейти к обсуждению граничных условий, рассмотрим поведение проводящего тела в электростатическом поле. Проводящим называется тело, в составе которого имеются свободные заряды. Пусть некоторое проводящее тело помещено в электростатическое поле (рис.11.10). Тогда на каждый свободный заряд со стороны поля начнет действовать сила, под действием которой положительные свободные заряды будут перемещаться в сторону низкого потенциала, а отрицательные – сторону высокого. Перемещение зарядов возможно только в пределах проводящего тела, поэтому они скапливаются на его поверхности (положительные – со стороны низкого потенциала, а отрицательные – со стороны высокого). Это явление получило название электростатической индукции, а скопившиеся на поверхности проводника заряды называются индуктированными. Хотя сумма положительных индуктированных зарядов в точности равна сумме отрицательных и в целом тело электрически нейтрально (если оно не было предварительно заряжено), но индуктированные заряды создают своё поле, что приводит к изменению результирующего поля внутри тела и вблизи его и в его окрестности.

Все точки проводящего тела имеют один и тот же потенциал, так как если допустить, что между двумя точками имеется разность потенциалов, то под действием этой разности протечет ток и потенциалы уравновесятся. Так как все точки проводящего тела имеют один и тот же потенциал, то напряженность электростатического поля внутри его т.е. поле внутри проводящего тела отсутствует. С физической точки зрения это объясняется тем, что внешнее поле полностью компенсируется полем индуктированных зарядов (см. рис.11.10). Индуктированных зарядов наводится именно столько и располагаются они именно так, чтобы внутри проводящего тела поля полностью компенсировались. Таким образом, объём, занятый проводящим телом является эквипотенциальным. Описанное свойство проводящих тел используется на практике для экранирования аппаратуры от воздействия внешних электростатических полей.

Условия на границе раздела диэлектрика и проводящего тела. На такой границе выполняются два условия: для всех точек диэлектрика, непосредственно примыкающих к поверхности проводника равна нулю тангенциальная составляющая напряженности поля (Et=0), а вектор электрического смещения численно равен поверхностной плотности индуктированного заряда (D=σ).

Для доказательства первого условия возьмём две точки (1 и 2) на границе раздела диэлектрик-проводник (рис.11.11). Тангенциальная составляющая вектора Е будет направлена по линии, соединяющей эти точки и определится так , но , т.к. точки 1 и 2 принадлежат и проводнику, а поэтому Et=0, что и требовалось доказать. Таким образом, силовые линии электростатического поля подходят к поверхности проводника под прямым углом (Et=0).

Для доказательства второго условия возьмем произвольную точку на границе и окружим её бесконечно малым плоским объёмом в виде параллелепипеда (рис.11.12) и применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме . Поскольку нижняя грань находится в проводящей среде, то через неё поток вектора D равен нулю, также как и через боковые грани (эти грани бесконечно малы, кроме того вектор D скользит вдоль них). Поток вектора D через верхнюю грань равен , т.к. векторы D и ds совпадают по направлению. Внутри поверхности интегрирования находятся только индуктированные заряды и их количество равно , где - поверхностная плотность индуктированного заряда. Тогда или .

Условия на границе раздела двух различных диэлектриков. На такой границе выполняются два условия: для всех точек, являющихся общими для двух различных диэлектриков, равны по величине тангенциальные составляющие вектора Е (Е1t=Е2t)и нормальные составляющие вектора D (D1n=D2n).

Покажем справедливость первого условия для чего возьмём произвольную точку на границе раздела двух различных диэлектриков и окружим её бесконечно малым (длина - dl) плоским (высота бесконечно мала по сравнению с длиной) контуром mnpq (рис.11.13). Составим выражение циркуляции вектора E вдоль этого контура. Сторона mn находится в верхней среде и, если контур обходить по часовой стрелке, то составляющая циркуляции вдоль этой стороны . Аналогично для стороны pq, находящейся во второй среде . В последнем выражении минус стоит потому, что тангенциальная составляющая Е2t и вектор dl направлены в противоположные стороны. Составляющими циркуляции вектора Е вдоль сторон pm и nq можно пренебречь в силу малости этих сторон. Для потенциального поля, которым является электростатическое, . Тогда или , что и требовалось доказать.

Для доказательства второго условия возьмем произвольную точку на границе и окружим её бесконечно малым плоским объёмом в виде параллелепипеда (рис.11.14) и применим к нему теорему Гаусса в интегральной форме . Через боковые грани потоком вектора D можно пренебречь из-за малости этих граней, а через верхнюю и нижнюю – соответственно и . Следовательно, . Внутри выделенного объёма нет свободных зарядов, т.е. . Тогда или . Если на границе раздела двух диэлектриков присутствуют свободные заряды с поверхностной плотностью σ (встречается очень редко), то или , т.е. при наличии на границе раздела свободных зарядов нормальная составляющая вектора D претерпевает скачок на величину поверхностной плотности свободного заряда.



Похожие документы:

  1. Электростатическое поле. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции Ввершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые по модулю заряды

    Документ
    ... 11 Тема: Электростатическое поле. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции Электростатическое поле создано ...   13 Тема: Электростатическое поле. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции Электростатическое поле создано точечным положительным ...
  2. Перечень тестовых заданий и задач, рекомендуемых студентам для подготовки к экзаменам по разделу дисциплины Физика «Электричество и магнетизм» Тестовые задания Электростатическое поле в вакууме

    Документ
    ... шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическом поле направлено вертикально вверх ...
  3. Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электрического смещения. 5

    Документ
    ... Диполь в однородном и неоднородном электрическом поле. 3. Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации. 4. Электрическое ... 6. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Энергия электростатического поля Проводники и диэлектрики. Свободные и ...
  4. Отчет по лабораторной работе №1 «исследование электростатического поля методом моделирования в проводящей среде»

    Отчет
    ... связь, выражающаяся соотношением: (1.1) В диэлектриках электростатическое поле характеризуется векто­ром электрического смещения ... ­лать вывод о возможности моделирования электростатического поля электрическим полем в проводящей среде, если соблюдается ...
  5. На каком рисунке правильно изображена картина линий электростатического поля точечного положительного заряда?

    Документ
    ... напряжённости электростатического поля заряда Q в точке C равен EC. Чему равен модуль напряжённости электростатического поля ... напряжённости электростатического поля заряда Q в точке С равен EС. Чему равен модуль напряжённости электростатического поля ...

Другие похожие документы..