Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Инструкция'
1.1. Инвентаризация выбросов (ГОСТ 17.2.1.04—77) представляет собой систематизацию сведений о распределении источников по территории, количестве и сос...полностью>>
'Документ'
Познание мира – увлекательное занятие. Предлагаю вам принять участие в заочной олимпиаде и пополнить свой запас знаний о веществах. Вы можете пользова...полностью>>
'Документ'
В  соответствии  с вступлением в силу 01.09. 2013 Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской федерации», согласно котором...полностью>>
'Документ'
1.1. Настоящие правила проживания (далее Правила) утверждены решением общего собраний собственников помещений в многоквартирном доме, и распространяют...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

О ЗАКОНЕ ПЛОТНОСТИ, ОПТИМАЛЬНОМ

ДЛЯ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ В ЗВЕЗДНЫХ СИСТЕМАХ

Б.П. Кондратьев

Удмуртский государственный университет, Ижевск

Главная (Пулковская) Астрономическая Обсерватория РАН

С. Петербург

         

Исследуются структурные и гравитационные свойства сферической модели звездной системы с законом плотности и соответствующим потенциалом Отношение средней плотности в шаре с любым радиусом к плотности на его границе неизменно и равно Масса модели расходится, но не столь быстро, как в изотермическом газовом шаре, а градиент плотности ограничен сверху и допускает существование устойчивых круговых орбит. Скорость вращения убывает с расстоянием от центра медленнее, чем в кеплеровском случае. Из астрофизических моделей наша выделяется особым свойством: вириал и гравитационная энергия любой сферической подсистемы в ней в точности равны друг другу, что означает «прозрачность» внешней оболочки для звезд подсистемы и отсутствие потенциального барьера для перемешивания вещества. Дано физическое объяснение свойств модели. 

  1. Постановка задачи. Закон плотности, при котором вириал и потенциальная энергия подсистемы равны

Дано сферически-симметричное гравитирующее тело, радиус-вектор у которого удовлетворяет неравенствам

(1)
Выделим в этом теле сферическую подсистему с промежуточным радиусом и запишем для неё вириал и гравитационную энергию (Кондратьев, 2007):

(2)
Здесь полный внутренний потенциал подсистемы, включающий потенциал от самой подсистемы и потенциал от внешней для неё оболочки. Интересуясь теперь разностью величин

(3)
заменим здесь под интегралом через с помощью уравнения Пуассона:

(4)

Получим соотношение

(5)

Физический смысл уравнения (5) обсуждается в разделе 4, а сейчас заметим, что дифференцируя (5) по переменной получим выражение

(6)
которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение для потенциала если функция задана из каких-то дополнительных соображений. Если положить, например,

(7)
то согласно (6), возможны два принципиально разных варианта:

(8)

В первом из них, согласно (4), что означает отсутствие у шара внешней оболочки и мы приходим к случаю изолированной системы; для неё и имеет место равенство (Чандрасекхар) вириала и гравитационной энергии

(9)

          Во втором варианте в (8), который ранее изучался в монографиях (Кондратьев, 1989 и 2007), уравнению (6) удовлетворяют простые решения

(10)
причем для нахождения по известному потенциалу вновь использовалось уравнение Пуассона.

Проверка: найденные решения (10) действительно обращает функцию из (3) на данном интервале в нуль.

  1. Гравитационные свойства модели

Вводя нормировочные постоянные, запишем решения (10) в виде

          (11)

Здесь характерный масштаб длины в модели, имеющей неограниченные размеры и массу. Масса шара радиусом

                              (12)
растет с расстоянием от центра медленнее, чем в изотермическом газовом шаре так как в нашей модели плотность с расстоянием от центра падает быстрее. В современной астрофизике часто применяются законы плотности с расходимостями полной массы. Таковы, например, изотермический газовый шар и получивший в последнее время известность закон распределения темной материи Наварро-Фрэнк-Уайт (NFW profile) (13)

(в последней модели расходится и плотность в центре).

Распределение вещества при найденном законе плотности «» имеет свойство самоподобия (гомологичности): отношение средней плотности в сферической подсистеме с произвольным радиусом к плотности на её границе не зависит от и в данном случае равно

            (14)

Следствием (14) будет то, что средняя плотность в шаре с произвольным радиусом равна плотности на расстоянии , (примерно) в два раза меньшем радиуса этой подсистемы

В модели с профилем плотности (11) в любой точке имеет место замечательное равенство

(15)

Так как квадрат эпициклической частоты больше нуля

(16)
круговые орбиты в модели оказываются устойчивыми. Ещё один фактор в пользу приемлемости закона (11) — в умеренном (в сравнении с кеплеровским ) спадании квадрата угловой скорости звезд на круговых орбитах

(17)

Скорость вращения изменяется по закону

(18)

и спадает медленнее, чем в кеплеровском потенциале . Квадрат дисперсии скоростей находится из уравнения гидростатического равновесия

             (19)

Как видим, дисперсия скоростей убывает к периферии, но имеет пик в центре. Такие свойства демонстрируют многие галактики.

           Но главное свойство нашей модели мы видим в том, что только в ней тензор вириала любой сферической подсистемы оказывается равен её гравитационной энергии:           

            (20)

Подчеркнём, что этот случай единственный в теории случай равенства для неизолированной гравитирующей конфигурации. Чандрасекхар (1972) ранее установил равенство (9) только в тривиальном случае — для изолированных тел. У нас же подсистема не изолирована и имеет внешнюю гравитирущую оболочку, дающую вклад в потенциал во внутренней точке. На первый (и не только на первый!) взгляд данное свойство модели бросает вызов нашему пониманию свойств гравитирующих тел. Любопытство слушателей вправе потребовать сатисфакции.

Объяснение парадокса

Действительно, в математической физике не существует другой модели, для которой выполнялось бы свойство

                    (21)

Так, случай Чандрасекхара, когда вириал полного тела равен её гравитационной энергии, является лишь предельным случаем для найденного (21) (предельным в том смысле, что результат Чандрасекхара выполняется только для тела в целом, т.е. когда верхний предел интегрирования в левой и правой частях (21) есть радиус граничной поверхности шара Тогда подсистема экививалентна самому шару и внешней оболочки просто нет. При этом условии равенство (21) выполняется для любого закона плотности.

Совершенно иначе обстоит дело в нашем случае: мы требуем выполнения равенства (21) для любой сферической подсистемы и поэтому верхний предел в интегралах (21) считаем переменным. Тогда, как было показано выше, система имеет единственный закон распределения плотности и потенциала (11). В корректности всех выкладок нетрудно убедиться, однако возникает любопытный физический вопрос: как вириал сферической подсистемы

(22)

точки которой «не чувствуют» силового влияния внешней оболочки (теорема Ньютона!), может быть равен гравитационной энергии этой же подсистемы

(23)

ведь вклад в потенциал под знаком интеграла в (23) вносят как сама подсистема, так и внешняя для неё гравитирующая оболочка?

         Парадоксальность ситуации подчеркивается тем, что с физической точки зрения величина есть работа по распылению вещества подсистемы под действием гравитационного поля только самой подсистемы (оболочка отсутствует, в то время как представляет собой работу по распылению подсистемы в суммарном силовом поле, созданного как подсистемой так и полем внешней оболочки.

     Чтобы разобрать в этом вопросе, представим полный потенциал на произвольную точку подсистемы в виде

                                                                                                         (24)

где потенциалы самой сферической подсистемы и оболочки соответственно равны

            (25)

Из первого выражения в (25) следует, что

(26)

С другой стороны (и в этом суть дела) - для профиля плотности (11) по формулам (25) находим равенство

            (27)

Именно так! Вклад в потенциал от шара, для которого пробная точка не является внутренней, равна вкладу в потенциал от подсистемы, для которой эта точка не является внешней. Поэтому, учитывая (27),

           (28)

или, в согласии с (26),

           (29)

С помощью (29) теперь легко видеть, что для выражения вириала (22) и гравитационной энергии подсистемы (23) действительно будет выполняться равенство что и требовалось доказать.

Ещё одно важное свойство модели рассматривается в разделе 5.

4.  Интерпретация функции и сравнение с другими моделями

Как уже говорилось, величина представляет собой работу по рассеянию на бесконечность вещества рассматриваемой подсистемы, при этом учитывается гравитационное поле не только самой подсистемы, но и поле от внешней к ней оболочки. Величина же вириала есть та работа, которую надо затратить, чтобы рассеять подсистему с учетом только сил взаимного притяжения (сферическая оболочка силового воздействия на элементы подсистемы, конечно, не оказывает). Во всех физически разумных случаях функция должна быть неотрицательна. Интуитивно её можно рассматривать как величину, которая характеризует интенсивность перемешивания вещества между подсистемой и внешней оболочкой (ядром и периферией в звёздных системах, галактиках и скоплениях галактик). Конкретный физический механизм перемешивания нас сейчас не интересует, так как мы говорим только об энергетических оценках.

При малых потенциальный барьер для возможного перемешивания будет также мал, и тогда существует благоприятный энергетический режим для перемешивания вещества по всей системе в целом. Наоборот, большие значения говорят о высоком потенциальном барьере, который препятствует интенсивному перемешиванию вещества в системе.

Из этих соображений, уравнение (5) может быть применено для исследования динамики галактик. В частности, по известному из наблюдений распределению плотности с помощью (5) можно оценить возможность существования сверхплотных ядер у некоторых сферических галактик, а также предрасположенность галактик и шаровых скоплений к гравитермической катастрофе (Антонов).

4.1. Рассмотрим, например, сферическую галактику, погружённую в изотермическую корону с распределением плотности Такой короне соответствует логарифмический потенциал

(30)

где характерный пространственный масштаб системы, а некоторая постоянная. В этом случае уравнение (5) дает

(31)

Отсюда следует (см. рис. 1), что радиус плотных ядер в такой короне должен удовлетворять неравенству

Рис. 1. Зависимость нормированной функции для закона плотности от нормированного радиуса подсистемы

Так как равенство вириала и гравитационной энергии для любой подсистемы модели

(32)

мы интерпретируем с энергетической точки зрения как отсутствие потенциального барьера для перемешивания вещества, заметим, что по данным наблюдений реальных галактик и шаровых звёздных скоплений, распределение плотности в них в центральных частях оказывается довольно близким к указанному здесь закону «». Следовательно, у большинства галактик потенциальный барьер для перемешивания вещества оказывается низким. Рассмотрим ещё несколько примеров.

    1. Шар Лежандра-Лапласа с законом плотности

(33)

    

Рис. 2. Зависимость нормированной функции в шаре Лапласа от нормированного радиуса подсистемы

    1. Шар Пламмера-Шустера (политропа с ) для шаровых звездных скоплений

(34)

Рис. 3 То же самое, что и на предыдущем рисунке, но для шара Пламмера

              4.4.  Распределение NFW

       (35)

Рис. 4. Зависимость для закона плотности Наварро-Фрэнк-Уайт

        4.5. Актуальным является также астрофизический закон, соответствующий распределению поверхностной яркости в Е-галактиках по Хабблу Для него, после многих расчетов (см. также Кондратьев, 2007), находим

     (36)

Рис. 5. Зависимость для астрофизического закона плотности . Величина взята по выравниванию данных фотометрии Е-галактик (Кондратьев, 1989).

          Как видим, мах для функции для моделей Лапласа и Пламмера достигается при относительно больших значениях а для реальных астрофизических профилей плотности – при малых Это и позволяет судить о размерах внутренних ядер в галактиках и звездных скоплениях.

Но только при законе плотности имеет место особое свойство – для любой внутренней сферической подсистемы вириал в точности равен гравитационной энергии подсистемы. Отметим также, что распределение плотности по закону «» близко к таковому в политропном газовом шаре с индексом когда радиус шара стремится к бесконечному и внешняя часть гравитационной энергии обращается в нуль.

5. Обсуждение

         Модель с профилем плотности имеет неограниченные размеры и массу, а также сингулярность в центре, однако в астрофизике часто применяются законы плотности, обладающие такими особенностями. К слову, расходимость массы от в нашей модели оказывается даже меньше, чем расходимость в изотермическом газовом шаре. В модели Наварро-Фрэнк-Уайт масса расходится логарифмически. Градиент плотности в нашей модели не столь большой и поэтому круговые орбиты устойчивы. Ещё один фактор в пользу приемлемости закона (11) — в умеренном (в сравнении с кеплеровским ) спадании угловой скорости звезд на круговых орбитах в такой звёздной системе. Скорость вращения изменяется по закону . По данным наблюдений, в центральных частях реальных галактик и шаровых звёздных скоплений распределения плотности близки к указанному закону «». В любой точке внутри модели имеет место также характерное равенство  

         Важное свойство делают модель (11) предельной среди других астрофизических моделей: тензор вириала подсистемы с любым радиусом в ней оказывается равен гравитационной энергии этой подсистемы. Чандрасекхар ранее установил равенство (9) только для изолированных тел. У нас же подсистема не изолирована и имеет верхнюю гравитирующую оболочку. Дано объяснение этого парадокса, представляющее общетеоретический интерес (разд. 3).

С физической точки зрения представляется, что отсутствие (или постоянство) потенциального барьера для перемешивания вещества может быть следствием бурной релаксации Линден-Белла. Кроме явных случаев влияния на эволюцию приливных сил, возможно, именно бурная релаксация является одной из главных причин образования наблюдаемых радиальных профилей распределения вещества в звёздных системах.

Литература

Кондратьев Б.П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур. М.: Наука, 1989, 272 с.

Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: МИР, 2007, 512 с.

Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1972, 288 с.



Похожие документы:

  1. Государственный реестр независимых экспертов, получивших акредитацию на проведение антикоррупционной экспертизы нормативных правовых актов и проектов нормативных правовых актов в случаях, предусмотренных законодательством российской федерации

    Документ
    ... России» 426065, Удмуртская Республика, г. Ижевск, ул. Петрова, ... Р.И. Иванов С.Н. Избиенова Т.А Козин В.И. Кондратьев А.А. Кузьминов В.С. Кулалаев И.В. Лежнина Л.Н. ... образования «Байкальский государственный университет экономики и права ...
  2. Студентов, обучающихся в профессиональных образовательных организациях и образовательных организациях высшего образования по очной форме обучения по имеющим гос

    Документ
    ... образования Удмуртской Республики «Ижевский промышленно-экономический ... профессионального образования «Ижевский государственный технический университет им. М.Т. ... Кондратьев Евгений Александрович - студент 4-го курса краевого государственного ...
  3. Мониторинг 16. 09. 2013

    Документ
    ... . Статья Алексей Кондратьев Оригинал 19.09 ... школа-интернат имени А.Н. Колмогорова Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (Западный, ... Удмуртская Республика МБОУ "Гуманитарно-юридический лицей № 86" (г. Ижевск); МБОУ "Ижевский ...
  4. Лев Прозоров Времена русских богатырей По страницам былин — в глубь времён Оглавление

    Документ
    ... превратился» в русских летописях в... Кондрата? Или насколько вероятна, с ... , сотрудника Национальной Академии Государственного управления Украины). Запустившего ... И.Я, Начало христианства на Руси. Ижевск: Удмуртский университет, 2003. С. 92. Фроянов ...
  5. Сведения о размере и об источниках доходов, имуществе, принадлежащем кандидату на праве собственности, о счетах (вкладах) в банках, ценных бумагах (1)

    Документ
    ... Нижегородской области; 2. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского; 3. ... руб. 0 0 0 169 Кондратов Роман Викторович 1. Ставропольское краевое ... Ижевск, ул. Свердова, д. 26; Общая сумма доходов: 545586,19 руб. 0 0 1. Удмуртская ...

Другие похожие документы..