Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
По плану "шефа" очередная "заблудившаяся" яхта должна пересечь государственную границу в устье залива, чтобы отвлечь внимание пограничников ОТ(ТОГО), ...полностью>>
'Отчет'
07. 01 г. За чистку и сушку ковров. НДС не облагается. 3 7 4,00 Итого по статье 5 0, 0 статья 310 основные средства 15.03. 01 (310): 4743 ,00; Оплата ...полностью>>
'Документ'
Он большой и крупный зверь, Плавать надо всё быстрей....полностью>>
'Документ'
Воспитательные: формировать у родителей грамотное отношение к применению методов поощрения и наказания ребёнка; побудить родителей задуматься о стиле ...полностью>>

Главная > Методические указания

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

СИСТЕМЫМАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

к типовому расчету по курсу «СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ»

Составитель: В.Н. Скворцов

Липецк

Липецкий государственный технический университет

2014

Методические указания предназначены для студентов специальностей 010800 «Механика и математическое моделирование», 220100 «Системный анализ и управление» и ряда других специальностей, изучающих системы массового обслуживания и случайные процессы.

Представленные указания содержат варианты типовых задач по основным темам , примеры их решений и список рекомендуемой литературы.

  1. Системы массового обслуживания

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (или “прибором”). СМО бывают как одно, так и многоканальными.

Различают СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО, а в дальнейшем в процессе ее работы не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал. Число мест в очереди т может быть как ограниченным, так и неограниченным. При т=0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами. Очередь может иметь ограничения не только по количеству стоящих в ней заявок (длине очереди), но и по времени ожидания (такие СМО называются “системами с нетерпеливыми клиентами”).

Аналитическое исследование СМО является наиболее простым, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, – простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что интервалы времени между событиями в потоках имеют показательное распределение с параметром, равным интенсивности соответствующего потока. Для СМО это допущение означает, что как поток заявок, так и поток обслуживания – простейшие. Под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Этот поток оказывается простейшим, только если время обслуживания заявки tобсл представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение. Параметр этого распределения μ есть величина, обратная среднему времени обслуживания: , где . Вместо фразы “поток обслуживания – простейший” часто говорят “время обслуживания – показательное”. Вся-кая СМО, в которой все потоки простейшие, называется простейшей СМО.

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. При выполнении некоторых условий для этого процесса существует финальный стационарный режим, при котором как вероятности состояний, так и другие характеристики процесса не зависят от времени.

Задачи теории массового обслуживания – это нахождение вероятностей различных состояний СМО, а также установление зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок λ, распределением времени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться, например, следующие:

  • среднее число заявок А, обслуживаемых СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО;

  • вероятность обслуживания заявки Q или относительная пропускная способность СМО; Q = А/λ;

  • вероятность отказа Ротк, т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена и получит отказ; Ротк = 1 – Q;

  • среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди) ;

  • среднее число заявок в очереди ;

  • среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) ;

  • среднее время пребывания заявки в очереди ;

  • среднее число занятых каналов .

В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стационарному. Мы здесь повсюду, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному стационарному режиму ее работы.

СМО называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО. Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

(1.1)

где λ – интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называемая также формулой Литтла) связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди:

(1.2)

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности (среднее время пребывания и среднее число заявок), а только какую-нибудь одну из них.

Специально подчеркнем, что формулы (1.1) и (1.2) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и потоков обслуживания); единственное требование к потокам заявок и обслуживании – чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А:

где – интенсивность потока обслуживания.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения. Вероятности состояний выражаются формулами:

    1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга). На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди оно совпадает с числом занятых каналов):

S0 – СМО свободна;

S1 – занят один канал, остальные свободны;

...;

Sk – занято k каналов, остальные свободны (1kn);

…;

Sn – заняты все n каналов.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

где ρ=λ/μ (1.3.)

Характеристики эффективности:

A=(1–pn); Q = 1–pn ; Pотк= pn ; =(1–pn).

При больших значениях п вероятности состояний (1*) удобно вычислять через табулированные функции:

(распределение Пуассона) и ,

из которых первую можно выразить через вторую:

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (1.3.) можно переписать в виде

.

1.2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью. На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с параметром . Длина очереди не ограничена. Финальные вероятности существуют только, при (при ρ1 очередь растет неограниченно). Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых:

S0 – СМО свободна;

S1 – канал занят, очереди нет;

S2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди;

...;

Sk – канал занят, k1 заявок стоят в очереди;

... .

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

где .

Характеристики эффективности СМО:

1.3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди. На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с параметром . В очереди т мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО ( Рис.1)

Состояния СМО:

S0 – СМО свободна;

S1 – канал занят, очереди нет;

S2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди;

...;

Sk – канал занят, k–1 заявок стоят в очереди;

...;

Sm+1 – канал занят, т заявок стоят в очереди.

Рис.1 граф одноканальной СМО



Похожие документы:

  1. Заводе №8 чужим пушкам (заводов "Большевик", Гочкиса, Максима, "Рейнметалл" и др.) присваивали собственные заводские индексы, таким образом и система Лендера

    Документ
    ... от НКВМ (по У ВВС) заданий, указанных в п. 4, разработать календарный план исполнения этих заданий и довести ... система мобилизации обслуживает организационную структуру и производственные процессы мирной продукции и не построена по принципу обслуживания ...
  2. Л. С. Волкова и Заслуженный работник высшей школы рф, профессор (1)

    Документ
    ... составители ... по инерции и по случайным ассоциациям. К ошибкам по ... почка-бочка, почка-точка, мел-мель и п.). При выполнении указанных заданий ... обслуживания ... система­тических курсов ... методических кабинетов и учебно-воспитательного процесса методическими ...
  3. Образовательная программа начального общего образования на период 2011-2015 г г

    Образовательная программа
    ... задания Типовые диагностические задачи по ... по учебно-методическому обеспечению образовательного процесса. Программа курса ... массового ... /составитель З.Н. ... методические указания       Каждый урок физической культуры является звеном системы ... расчет по ... обслуживания ...
  4. Программа начального общего образования (с изменениями и дополнениями)

    Программа
    ... 2013 2009 «Система развивающего обучения» Удостоверение № 4994 2007 Курсы по ИКТ Сертификат № 19838 ... в образовательном процессе в соответствии с ФГОС НОО Информация об обеспеченности учебниками и учебно-методической литературой с указанием ...

Другие похожие документы..