Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Сборник статей'
Детерминация темпорального сознания репрезентациями времени/ З.А.Киреева Сборник статей Международной заочной конференции. ВГИ(филиал) ВолГУ- Волгог...полностью>>
'Пояснительная записка'
На конкурс представлен кабинет физики базовой общеобразовательной школы. Полное название образовательного учреждения: Муниципальное образовательное бю...полностью>>
'Документ'
Никитин Анатолий Алексеевич – талантливый, творчески работающий педагог высшей квалификационной категории. За время работы Анатолий Алексеевич создал ...полностью>>
'Документ'
Несмотря на то, что уже в 14 регионах начат отопительный сезон, Александр Вилкул дал задание ускорить подключение объектов социальной сферы и жилых до...полностью>>

Главная > Документ

Сохрани ссылку в одной из сетей:
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Введение.

Тема моей исследовательской работы – «Многоугольники». В этой работе речь пойдет о многоугольниках. Мы узнаем, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной, которая в свою очередь бывает простой, замкнутой.Мы знаем, что многоугольники бывают плоскими, правильными, выпуклыми. Один из плоских многоугольников – треугольник, с которым мы давно и хорошо знакомы.

Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Помимо уже известных нам видов треугольников, разделяемых по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и углам (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный) треугольник относится к большому семейству многоугольников, выделяемых среди множества различных геометрических фигур на плоскости.

Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”. Но для характеристики фигуры этого не достаточно.

Цель моей работы провести исследование количества составных элементов правильных многоугольников (от треугольника до n-угольника)и применение их в жизни.

Для достижения цели я ставила перед собой следующие задачи:

исследовать многоугольники и виды многоугольников.

Расширить и обобщить знания о многоугольниках.

Сформировать представление о «составных частях» многоугольника.

Глава 1

Многоугольник.

Ломаной А1А2…Аn называется фигура, которая состоит из точек А1,А2,…Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3,…. Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. (рис.1)

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис.2,3).

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев (рис.4).

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.5).

Подставьте в слове “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 3. Вы получите треугольник. Или 5. Тогда - пятиугольник. Заметим, что, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника.

Многоугольник разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю (рис.6).

/articles/500842/Image337.gif

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.

Две вершины многоугольника являющиеся концами одной стороны называются соседними. Вершины, не являющиеся концами одной стороны – несоседние.

Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Хотя наименьшее число сторон многоугольника – 3. Но треугольники, соединяясь, друг с другом, могут образовывать другие фигуры, которые в свою очередь также являются многоугольниками.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Докажем теорему (о сумме углов выпуклого n – угольника): Сумма углов выпуклого n – угольника равна 1800*(n - 2).

Доказательство. В случае n=3 теорема справедлива. Пусть А1А2…А n – данный выпуклый многоугольник и n>3. Проведем в нем (из одной вершины) диагонали. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n – 2 треугольника. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 1800, а число этих треугольников n – 2. Поэтому сумма углов выпуклого n – угольника А1А2…А n равна 1800* ( n - 2). Теорема доказана.

Можно также вывести формулу для подсчета диагоналей многоугольника.

Решение. Зафиксируем какую-нибудь вершину n-угольника. Мы знаем, что диагональю является отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, получаем, что через данную вершину проходит n-3 диагонали. Так как общее число вершин равно n, через каждую из них проходит n-3 диагонали, и при таком подсчете каждая диагональ считается дважды, получаем общее число диагоналей равно n(n-3)/2 .

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Так что квадрат можно назвать по-другому – правильным четырехугольником. Равносторонние треугольники также являются правильными.

Гипотеза. Возможно ли применение правильных многоугольников в архитектуре?

Такие фигуры давно интересовали мастеров, украшавших здания. Из них получались красивые узоры, например на паркете. Но не из всех правильных многоугольников можно было сложить паркет. Из правильных восьмиугольников паркет сложить нельзя. Дело в том, что у них каждый угол равен 1350.И если какая – нибудь точка является вершиной двух таких восьмиугольников, то на их долю придется 2700 , и третьему восьмиугольнику там поместиться негде: 3600 - 2700 =900 .Но для квадрата этого достаточно. Поэтому можно сложить паркет из правильных восьмиугольников и квадратов.

Правильными бывают и звезды. Наша пятиконечная звезда – правильная пятиугольная звезда. А если повернуть квадрат вокруг центра на 450 , то получится правильная восьмиугольная звезда.

 /articles/500842/Image338.gif

Глава 2
Звездчатые многоугольники.

Как нарисовать семиконечную звезду

    Проведем окружность и отметим на ней пять точек, разбивающих её на равные дуги.
Соедините точки отрезками. Получился правильный пятиугольник.

/geometria/5yg.JPG

    Если каждую точку хордами соединить с двумя соседними, то получится правильный 5-угольник, вписанный в окружность. Если же точки соединить хордами не подряд, а через две дуги, то получится правильный звёздчатый 5- угольник, вписанный в окружность, или пятиконечная звезда. Внутри пятиконечной звезды можно обнаружить правильный пятиугольник. Соединяя точки через три дуги, получим тот же звёздчатый 5- угольник, обходимый в противоположном направлении.

/geometria/5zv.JPG

    Аналогичным образом строится правильный звёздчатый шестиугольник (шестиконечная звезда). Шестиконечная звезда состоит из двух треугольников, а пятиконечная рисуется как сплошная линия.

/geometria/6zv.JPG

    Понятно, что минимальное число лучей равно пяти. Правильных звёздчатых многоугольников с меньшим количеством лучей не существует.
    А вот семиконечных звёзд можно построить две.

/geometria/7zv_1.JPG    /geometria/7zv_2.JPG

    Любопытно, что вторая семиконечная звезда содержит внутри своего рисунка структуру первой семиконечной звезды.

/geometria/7zv.JPG

Сколько существует различных звёзд ?

    Можно построить две восьмиконечные звезды. Первая звезда состоит из двух пересекающихся квадратов.
А другая представляет собой одну самопересекащуюся линию, которая рисуется без отрыва карандаша.

/geometria/8zv_1.JPG    /geometria/8zv_2.JPG

    При этом структура рисунка первой звезды содержится в структуре рисунка второй./geometria/8zv.JPG

/geometria/9zv_1.JPG

    А вот девятиконечных звёзд существует три.   

/geometria/9zv_2.JPG
/geometria/9zv_3.JPG

    При этом в структуре рисунка второй звезды содержится структура рисунка первой, а в структуру рисунка третьей звезды включены и первая и вторая.

/geometria/9zv.JPG

    Если число вершин /geometria/im1.gif- чётное, то существует /geometria/im2.gifразличных правильных звёздчатых многоугольников с /geometria/im3.gifвершинами.
    Если число вершин /geometria/im4.gif- нечётное, то существует /geometria/im5.gifразличных звёздчатых многоугольников с /geometria/im3.gifвершинами.

    Поэтому десятиконечных звёзд тоже три, как и девятиконечных. А одиннадцатиконечных звёзд существует четыре.

Десятиконечные звёзды

/geometria/zv10d1.JPG


/geometria/zv10d.JPG

Глава 3

Тенденция в бижутерии-2010: геометрические формы.

Модельерам неожиданно полюбились и эксперименты с геометрическими формами. Здесь их смелость и креативность также не знают границ. На 2010-й год модельеры предлагают изумительной красоты ожерелье и колье, в дизайне которых гармонично сочетаются причудливые многоугольники и закругленные линии. Овалы ,круги, треугольники, трапеции, квадраты, ромбы -в сезоне весна-лето 2010 все идет в ход.

Бусомания.jpg

Классический персидский дизайн представляет собой поле из квадратов (размером около 10-15 см), которые образуют своего рода сетку. В каждом из этих квадратов новый рисунок, демонстрирующий различные элементы сада. В некоторых могут быть изображены маленькие деревья или цветы, в других -олени или птицы. Можно также найти домик, хозяин которого и владеет садом. Линии, образующие эту сетку, олицетворяют водные каналы для орошения земель. В коврах с таким дизайном бордюр уже не делают столь изощренным, чтобы не переборщить с мелкими деталями. А в так называемой «археологической» версии персидского дизайна помимо цветов и животных в квадратах можно найти всевозможные вазы, кувшины и предметы посуды, что не делает ковер менее привлекательным, а наоборот, придает ему элемент необычности.

/carpet1.jpg

Ковровая плитка

Ковровая плитка представляет собой отдельные листы ковролина со сторонами 50 см (ровные квадраты). В последнее время её всё больше предпочитают традиционному ковролину, т.к. в укладке и эксплуатации ковровая плитка куда удобнее и эргономичнее. Предположим, что вам понадобилось устранить некую неисправность, связанную с коммуникациями, скрытыми в полу. При использовании традиционного ковролина пришлось бы портить полотно, в то время как ковровая плитка позволяет устранить несколько сегментов, заменив их в дальнейшем на новые.

«Уголок» полукругом

кухонный уголок

Кухонные уголки больше не уголки, а полукруги или многоугольники. Да еще и с ящичками и шкафчиками.

Новые эргономичные гарнитуры могут вписаться в любое пространство (могут даже «поломаться» по желанию хозяев). А еще в них есть очень удобные ящички, скрытые под сиденьями, и даже шкафчики в боковых панелях.

В настоящее время условно дизайн флаконов делится на следующие виды:

Чувствительный  дизайн – форма флаконов: треугольники, многоугольники, пирамиды, конусы; характеризует спокойный стиль, который может восприниматься в зависимости от ситуации и личности как очень сдержанный и традиционный или как чувственный и экстравагантный.

Утонченный стиль – форма прямоугольная или квадратная. Эти флаконы воспринимаются как  что-то очень дорогое и изысканное. Они элегантны, респектабельны, сразу настраивают на свое содержание6 в таком флаконе чаще всего классический, строгий аромат.

Глава 4

Паркеты- замощения плоскости многоугольниками

 

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_3.jpg 

Рис. 2

Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 2).

 

 

 

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_4.jpg 

Рис. 3

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами.

Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться          k = 360°/ n многоугольников, где n — угол правильного n-угольника. Легко найти, что 3 = 60°, 4 = 90°, 5 = 108°, 6 = 120° и 120° < n < 180° при п > 7. Поэтому 360° делится нацело на n только при п = 3; 4; 6. 

Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они «одинаково устроены» относительно всех своих вершин и всех составляющих паркеты кусочков-многоугольников. (Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками.) Другими словами, для любых двух вершин правильного паркета можно указать такое его самосовмещение, при котором одна из вершин попадает на другую. То же верно для любых двух плиток паркета. 

Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь, изображённых на рис 3.

 

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_5.jpg 

Рис. 4

Рассматривают и другое обощение — паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую заданную плитку в любую другую). Число таких паркетов — 46, включая и первые три. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами. Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон (рис. 4, а). То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны (рис. 4, б).

 

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_6.jpg 

Рис. 5

Ещё пять примеров показаны на рис. 5. 

Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры. Существуют и непериодические замощения, например очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 г. немецким математиком X. Фодербергом (рис. 6). Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически. 

Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине  60-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками. 

 

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_7.jpg 

Рис. 6

/vm/DVGMA/www/SVM/Oixt/Forpic/Ris_8.jpg 

Рис. 7

Но при их выкладывании необходимо соблюдать некоторые простые правила сочетания фигурок (вместо этого на краях фигурок делают специальные зазубрины, их совпадение обеспечивает соблюдение правил). Форма фигурок может быть различной, но все они связаны с правильным пятиугольником. Один из примеров подобной пары плиток — так называемые треугольники Робинсона. Другой пример — ромбы с острыми углами 72 и 36°. Участок одного из бесконечного множества образуемых ими паркетов показан на рис. 7. Как и все другие мозаики Пенроуза, этот паркет квазипериодический (от лат. quasi — «почти»), т. е. любая его конечная часть повторяется в нём бесконечно много раз. Но самое интересное заключается в том, что вскоре — уже через несколько лет после открытия квазипериодических замощений, вначале казавшихся не более чем игрой ума, — были получены вещества с квазипериодической структурой.

Заключение.

Проведенные мною исследования можно представить в виде таблицы:

Правильные многоугольники

Чертеж

Кол-во сторон

Кол-во вершин

Сумма всех внутр.углов

Градусная мера внутр. угла

Градусная мера внешн.угла

Количество диагоналей

А)треугольник

 

3

3

180

60

120

Б) четырех-угольник

 

4

4

360

90

90

2

В)пятиуольник

 

5

5

540

108

72

5

Г) шестиугольник

 

6

6

720

120

60

9

Д) n-угольник

 

n

n

180(n-2)

180(n-2) /n

 180-180(n-2) /n

n(n-3)/2

Из этой таблицы видно, что, сколько вершин у многоугольника , то и столько же сторон. Зная число сторон, можем найти сумму углов и число диагоналей многоугольника. Полученные формулы имеют большое значение и в дальнейшем будут появляться при решении различных комбинаторных задач, которые приведены в приложении.

Приложение

При изучении многоугольников и их общих свойств можно решить следующие комбинаторные задачи:

1.Может ли многоугольник иметь: а) 10 диагоналей; б) 20 диагоналей; в) 30 диагоналей.

Решение. По результатам исследования шестиугольник имеет 9 диагоналей, семиугольник n(n-3)/2=7(7-3)/2=14, восьмиугольник 8(8-3)/2=20, девятиугольник 9(9-3)/2=27, десятиугольник 10(10-3)/2=35. Из решения задачи видно, что многоугольники с большим числом сторон имеют большее число диагоналей. Поэтому многоугольник может иметь 20 диагоналей и не может иметь 10 или 30 диагоналей.

2.Существуют ли многоугольники, у которых число диагоналей равно числу сторон?

Решение. Один такой многоугольник существует и он единственный, это пятиугольник. Действительно, если число диагоналей n-угольника равно числу его сторон, то выполняется равенство n(n-3)/2 =n, из которого следует, что n=5.

Задача.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=3*80+x*150, где

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то  очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Решаем полученное уравнение

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

30n = 150

n=5

Ответ: 5 вершин

Задача.

Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2).

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

180(n-2)=120n

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)

60n = 360

n=6

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Объяснение:

Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.

Задача

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360°.

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

201+(n-3)x=360

(n-3)x=159

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ: шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 3600. Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*900 = 3600. Имеем противоречие. Утверждение доказано.

Список использованной литературы:

Л.С. Атанасян . Геометрия 9 класс. «Просвещение», 2005г.

А.В. Погорелов. Геометрия 9 класс. «Просвещение», 2004г.

И.М. Смирнова , В.А.Смирнов. Комбинаторные задачи по геометрии. «Чистые пруды»:Москва,2006г.

Интернет ресурсы: /wiki/Многоугольник

/articles/500842/

/dorigami_rco.html

.ua/…/course/course7/chapter30/

Оглавление.

1.Введение.

Глава 1. Многоугольник.

Глава 2. Звездчатые многоугольники.

2.Заключение.

3.Список использованной литературы.

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа имени С.А.Ахтямова села Манзарас»

Кукморского муниципального района РТ

Научно-исследовательская работа.

Тема: «Многоугольники. Виды многоугольников»

Руководитель М.Г. Ахметшина

учитель математики

второй квалификационной

категории

Учащийся Г.Р.Кадырова

Кукмор 2010



Похожие документы:

  1. Третья часть великого Шжизнекнижия роман Многократора

    Документ
    ... которая там же – в райском саду. Этой весной на вечеринке одна правильная ... распускаться! Теперь моя очередь. Продолжаю. В средневековье один поп написал бестселлер ... свои работы. Из «обнаженки» уцелело почти всё. Степан сам знал, что в штудии-то он хорош ...
  2. Образовательная программа начального общего образования на период 2011-2015 г г

    Образовательная программа
    ... . Правильная и хорошая (эффективная) речь Недочеты в речи. Правильная и не­правильная речь. Речь хорошая (эф­фективная). Нормы – что это та ... руководства для учителя, в котором излагается один из возможных вариантов работы с заданиями, помещёнными в ...
  3. Д. К. Самин 100 великих архитекторов

    Документ
    ... хорошо знакомые Хильдебрандту. Однако австрийский мастер, строя своего ... что писал один из современников Тома де Томона об этом ... Моя цель выше простых поисков нового, речь идет об основаниях, на которых мы строим свою работу ... ограничена, замкнута. ...

Другие похожие документы..